概率生成问题

有一枚不均匀的硬币，要求产生均匀的概率分布
有一枚均匀的硬币，要求产生不均匀的概率分布，如 0.25 和 0.75
利用 Rand7() 实现 Rand10()

不均匀硬币 产生等概率

现有一枚不均匀的硬币 coin()，能够返回 0、1 两个值，其概率分别为 0.6、0.4。要求使用这枚硬币，产生均匀的概率分布。即编写一个函数 coin_new() 使得它返回 0、1 的概率均为 0.5。

# 不均匀硬币，返回 0、1 的概率分别为 0.6、0.4
def coin():
    return 0 if random.randint(1,10) > 4 else 1

统计抛两次硬币的结果的概率分布：

结果 0 1
0 0.60.6=0.36 0.60.4=0.24
1 0.40.6=0.24 0.40.4=0.16

连续抛两枚硬币得到 0 1 和 1 0 的概率分布是相同的。因此这道题的解法就是连续抛两次硬币，如果得到 0 1，返回 0；如果得到 1 0，返回 1；如果两次结果相同，则重新抛。

以此类推，无论这枚不均匀硬币的概率是多少，都可以用这种方法得到等概率的结果。

ddef coin_new():
    while True:
        a = coin()
        if coin() != a:  
            return a

完整测试代码：

def coin():
    return 0 if random.randint(1,10) > 4 else 1

def coin_new():
    while True:
        a = coin()
        if coin() != a:  
            return a
if __name__ == '__main__':
    a = 0
    b = 0
    n = 100000
    for _ in range(n):
        if coin_new():a += 1
        if coin():b += 1

    print(f"1:{a/n},1:{b/n}")

均匀硬币 产生不等概率

现有一枚均匀的硬币 coin()，能够返回 0、1 两个值，其概率均为 0.5。要求编写一个函数 coin_new()，使得它返回指定的 0、1 概率分布。

# 均匀硬币 
def coin():
    return random.randint(0,1)  

P(0) = 1/4，P(1) = 3/4

对于均匀硬币而言，连续抛两次，得到 0 0、0 1、1 0、1 1 的概率均为 1/4。显然，只需要连续抛两次硬币，如果得到 0 0，返回 0，其他情况返回 1。

def coin_new():
    return coin() or coin()

P(0) = 1/3，P(1) = 2/3

连续抛两次硬币。如果得到 1 1，返回 0；如果得到 1 0 或 0 1，返回 1；如果得到 0 0，继续抛硬币。

def coin_new():
    while True:
        a, b = coin(), coin()
        if a  b: return 0
        if a | b: return 1

P(0) = 0.3，P(1) = 0.7

每抛一次硬币，会得到二进制数的一位，连续抛 4 次硬币，可以等概率生成 [0, 15] 的每个数，记为 x。去掉 [10, 15]，剩下 [0, 9] 的每个数依然是等概率的。如果 x ∈ [ 0 , 2 ] x \in [0, 2] x∈[0,2]，返回 0； x ∈ [ 4 , 9 ] x \in [4, 9] x∈[4,9]，返回 1； x ≥ 10 x ≥ 10 x≥10，重复上述过程。

def coin_new():
    while True:
        x = 0
        for _ in range(4):
            x = (x  1) + coin()
        if x = 2: return 0
        if x = 9: return 1

总结

每抛一次硬币，会得到二进制数的一位，连续抛 k 次硬币，可以等概率生成 [ 0 , 2 k − 1 ] [0, 2^k-1] [0,2k−1] 的每个数在 [ 0 , 2 k − 1 ] [0, 2^k-1] [0,2k−1][ 中，选取 m 个数返回 0，n 个数返回 1，则 0、1 的概率分别为 m m + n \frac{m}{m+n} m+nm​ 、 n m + n \frac{n}{m+n} m+nn​。

关于 k 的选择，最少需要满足 N = 2 k − 1 N = 2^k-1 N=2k−1，N 是生成对应概率分布至少需要多少个不同数字。比如要生成 1/3、2/3 的分布，至少需要 3 个不同数字，则 N = 3, k = 2；要生成 3/10、7/10 的分布，至少需要 10 个数字，则 N = 10, k = 4。

k 最多则没有限制，我们总可以通过抛更多次硬币来解决问题，只需要把无用的数字舍弃即可。但我们的目的是尽可能减少无用数字的比例，因为每次遇到无用数字时，都需要重新生成新的数字。

Rand7 生成 Rand10

已有方法 Rand7() 可生成 1 到 7 范围内的均匀随机整数，试写一个方法 Rand10() 生成 1 到 10 范围内的均匀随机整数。

抛硬币可以看作是 Rand2()，均匀生成 0、1 两个整数。如何根据 Rand2() 生成 Rand10()？将每次抛硬币的结果，看作二进制的每一位，就可以得到 [ 0 , 2 k − 1 ] [0, 2^k-1] [0,2k−1] 范围内的均匀随机整数。只需要抛 4 次硬币，就能得到 [0, 15] 范围的整数。返回 [1, 10] 范围的整数，其他情况则重新抛硬币。

def rand10():
    while True:
        x = 0
        for _ in range(4):
            x = x  1 + rand2()
            
        if 1 = x = 10: return x

取 Rand7() - 1 作为对应的 7 进制位。每执行 k 次 Rand7()，将得到一个 k 位的 7 进制整数，在 [ 0 , 7 k − 1 ] [0, 7^k-1] [0,7k−1] 范围内均匀分布。

只需执行 k = 2 次 Rand7()，就可以得到范围为 [0, 48] 的均匀整数：

当 x ∈ [ 1 , 10 ] x \in [1, 10] x∈[1,10] 时返回 x，否则重新计算：

def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1);
        if 1 = x = 10: return x

进一步优化

选择 [1, 40] 范围里的数，通过取余运算来得到 [1, 10] 范围的数：

def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 = x = 40:
            return x % 10 + 1

对于上面这 9 个无用数字，计算 x % 40 可以得到 [0, 8] 范围的均匀随机整数。此时再调用一次 Rand7()，计算 (x % 40) * 7 + Rand7()，这相当于 Rand9() * 7 + Rand7()。显然，可以得到 [1, 63] 范围的均匀随机整数。这时 [1, 60] 范围里的数都可以用来作取余运算，只有 61、62、63 共 3 个无用数字：

def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 = x = 40:
            return x % 10 + 1   
            
    	x = (x % 40) * 7 + rand7() # 1~63
    	if x = 60: return x % 10 + 1

对于 61、62、63，再调用一次 Rand7()，计算 (x - 61) * 7 + Rand7()，相当于 Rand3() * 7 + Rand7()，可以得到 [1, 21] 范围的均匀随机整数，这时再作取余运算，只有 1 个无用数字（21）：

def rand10():
    while True:
        x = (rand7() - 1) * 7 + (rand7() - 1)
        if 1 = x = 40:
            return x % 10 + 1   
            
    	x = (x % 40) * 7 + rand7() # 1~63
    	if x = 60: return x % 10 + 1

        x = (x - 61) * 7 + 7 # 1~21
        if x = 20: return x % 10 + 1

每次 while 执行的时候，只有 1 个无用数字（21）会被舍弃，重新执行的概率很低。

RandM 生成 RandN

已知 RandM() 可以等概率的生成 [0, M-1] 范围的随机整数，那么执行 k 次，每次都得到 M 进制的一位，可以等概率生成 [ 0 , M k − 1 ] [0, M^k-1] [0,Mk−1] 范围的随机整数，记为 x。

RandN 至少需要 N 个均匀随机整数，因此只需要取 k，使得 M k − 1 > = N M^k-1 >= N Mk−1>=N 即可，此时有多种方式得到 RandN：
一种是只在 x ∈ [ 0 , N − 1 ] x \in [0, N-1] x∈[0,N−1] 时返回 x，另一种是利用取余运算，在保证等概率的前提下，尽可能多的利用生成的数字，从而减少舍弃的数字比例，降低 while 重复执行的概率。

到此这篇关于Python 概率生成问题案例详解的文章就介绍到这了,更多相关Python 概率生成问题内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！